Ecossistema Python para Computação Numérica

IPython

• IPython é poderoso shell interativo para a linguagem Python, muito superior ao shell padrão
• As entradas e saídas são numeradas e você pode recuperar seus valores
• É possível acessar os valores das entradas com variáveis _i1, _i2, etc
• Os valores das saídas podem ser acessadas por _1, _2, onde _, __ e ___ acessam a última, penúltima e antepenúltima saída

IPython

• Um dos recursos mais úteis do IPython é completar um comando
• Após digitar parte do comando aperte TAB para completar
• Caso haja mais de uma opção uma lista de opções será mostrada

• Também acessar o shell do sistema usando !comando (muito útil para alternar entre pastas, remover arquivos, etc)

IPython

• Obtendo Ajuda com "?"
  • Digitar algum_obj? mostra diversas informações sobre qualquer objeto, incluindo docstring, definições de funções, informações do construtor, etc
  • Digitar algum_obj?? mostrará o código fonte se possível
  abs? Docstring: Return the absolute value of the argument. Type: builtin_function_or_method
• Através da introspecção com ? e apertando TAB para completar comandos é possível realmente explorar bem funções, classes, etc.

IPython

• Outro recurso extremamente útil do IPython são os comandos mágicos
• Alguns dos comandos mágicos mais úteis são:
  • %whos: Lista variáveis e funções atuais (não mostra variáveis criadas pelo IPython como _3, _i14, etc)
  a = [1,2,3] b = "Olá Mundo" whos Variable Type Data/Info ---------------------------- a list n=3 b str Hello whos list Variable Type Data/Info ---------------------------- a list n=3
  • %edit testando.py: Abre 'testando.py' e executa o código após sair
  edit testando.py Editing... Waiting for Emacs...
  • %run testando.py: Executa testando.py como um script Também podemos passar opções como "-p" ou "-t"
  cat testando.py # Vamos ver o conteúdo que salvei no arquivo a = 10 b = 20 print(a * b) run testando.py # TAB completa o nome do arquivo 200 whos Variable Type Data/Info ---------------------------- a int 10 b int 20 run -p testando.py Ordered by: internal time ncalls tottime percall cumtime percall filename:lineno(function) 2 0.000 0.000 0.000 0.000 {built-in method io.open} 1 0.000 0.000 0.000 0.000 interactiveshell.py:2431(safe_execfile) 1 0.000 0.000 0.000 0.000 {built-in method builtins.compile} 2/1 0.000 0.000 0.000 0.000 {built-in method builtins.exec} 1 0.000 0.000 0.000 0.000 py3compat.py:182(execfile) 1 0.000 0.000 0.000 0.000 {built-in method builtins.print} 1 0.000 0.000 0.000 0.000 posixpath.py:318(normpath) 1 0.000 0.000 0.000 0.000 posixpath.py:145(dirname) 1 0.000 0.000 0.000 0.000 _bootlocale.py:23(getpreferredenco ... ... ...
  • %paste: Cola e executa um bloco de código da área de transferência
  • %timeit: Executa uma expressão e mostra tempo decorrido
  %timeit 4 * 5 100000000 loops, best of 3: 12.3 ns per loop
  • %autocall: Dispensa os parêntesis em uma chamada de função
  sum [1,2,3] -------> sum([1,2,3])
  6
  • %quickref: Cartão de referência do IPython Veja também %comando?

Jupyter Notebook

• Surgiu inicialmente como IPython Notebook, inspirado pelo Mathematica
• Cada notebook quando aberto está associado a um kernel
• Pode ser usado online em https://try.jupyter.org
• nbviewer: Site com vários notebooks interessantes, como por exemplo esse aqui (versão local)
• Pode ser instalado pelo Anaconda
• Rode o comando jupyter notebook para iniciar Tentem agora
• Nota: Existem serviços que rodam na nuvem e permitem criar e executar notebooks como SageMathCloud e Wakario

Jupyter Notebook

Dashboard

• Ao executar o notebook uma aba do navegador é aberta com o dashboard
• Vemos os arquivos na pasta onde o comando jupyter notebook foi executado

Jupyter Notebook

Editor

• No dashboard, cliquem em "New" e escolham o kernel indicado como Python3 para criar um novo notebook
• Executar o tour pela interface em "Help User Interface Tour"
• As células podem ser de dois tipos: markdown e code
• Células do tipo "markdown" contém texto que é renderizado usando a notação markdown
• Células do tipo "code" contém código que será executado, possivelmente resultando em alguma saída mostrada abaixo
• Em alguns caso a saída será mostrada em um formato mais apropriado

Jupyter Notebook

Exercício

• Crie uma célula markdown contendo texto com alguma formatação em markdown
• Uma célula abaixo definindo duas variáveis com números
• Crie uma célula abaixo somando as duas variáveis
• Faça um merge das duas células anteriores
• Crie uma célula vazia
• Delete a célula vazia recém criada

Jupyter Notebook

Mais que um terminal

• O editor do Jupyter possui algumas melhorias que não são possíveis em um terminal
• obj? mostra informações do objeto em um pager
• Shift+Enter em uma função mostra a docstring da função em um popup
• Rich Display System: Estende o método nativo __repr__ do Python para outras representações e o notebook vai escolher a mais apropriada
• Representações possíveis: HTML, JSON, PNG, JPEG, SVG, LaTeX
• Etc.

Criando Arrays

• Existem diversas maneiras de criar um array
• A mais direta é listando seus elementos

Datatype

• Os elementos de um array só podem ser do mesmo tipo
• Um array é muito eficiente em armazenar e computar se o tipo for int, float, ou complex
• Podemos verificar o tipo de um array através da propriedade "dtype"

Data Shape

• Podemos verificar o formado de um array através da propriedade shape
• Além da propriedade shape podemos usar size para determinar o número de elementos em um array
• Use o método reshape para mudar o formato do array

Criando Arrays

• Há várias funções que retornam arrays no numpy
• Mais comuns: zeros, ones, eye, empty

Criando Arrays

• Podemos também criar arrays com valores aleatórios, em um intervalo, etc

Operações Básicas

• Operadores aritméticos em arrays operam elemento-a-elemento

Operações Básicas

• O operador * não é exceção e efetua uma multiplicação elemento-a-elemento
• Para produto matricial use @ ou o método dot

Operações Básicas

• Algumas operações, como += e *=, modificam o array atual ao invés de criar um novo array Note que o datatype não pode mudar

Principais Operações em Arrays

• As diversas funções matemáticas são implementadas como np.nome_da_função e algumas estão também disponíveis como métodos do array
• Experimente digitar "a." no IPython e apertar TAB para ver as sugestões e use "?" para ver o help

Principais Operações em Arrays

• NumPy possui as funções matemáticas usuais: sin, cos, exp, etc.
• Elas são chamadas de "universal functions" (ufuncs)
• Essas funções operam individualmente em cada elemento do array, produzindo um array como saída

Indexando Arrays

• Arrays com uma dimensão podem ser indexados, fatiados, e iterados de forma semelhante a listas

Indexando Arrays

• Arrays multidimensionais podem conter um índice por eixo
• Esses índices são separados por vírgula
• Podemos fornecer menos índices que eixos
• Também podemos usar índices negativos

Indexando Arrays

• Podemos usar também ... para representar tantos ":" quanto necessário para produzir uma indexação completa
• Ex: Considere por exemplo um array x de rank 5
• Temos então que:
• x[1,2,...] equivale a x[1,2,:,:,:],
• x[...,3] equivale a x[:,:,:,:,3]
• x[4,...,5,:] equivale a x[4,:,:,5,:]
• Etc.

Indexando Arrays

• Ao indexar uma dada dimensão o array resultante não possui aquela dimensão, mas para slices a dimensão continua existindo
• Compare os exemplos abaixo (especialmente o shape do resultado)

Indexando Arrays

Vetores Booleanos

• Arrays booleanos podem ser usados para indexar outros arrays
• Isso é especialmente útil para pegar elementos obedecendo certas condições
• Exemplo:

Cópias e Views

• Quando operando e manipulando arrays, as vezes os dados são copiados em um novo array e as vezes não
• Casos sem cópia:
• Assinalamento (Python também funciona assim para tipos mutáveis)
• Mudança de shape
• Argumentos de funções
a = np.arange(12) b = a # Nenhum objeto novo é criado com um assinalamento b is a # "a" e "b" são dois nomes para o mesmo array
True
b.shape = 3,4 # Muda apenas o shape do array sem mudar os dados na memória a.shape
(3, 4)
def f(x): ... print(id(x)) id(a) # id é um identificador único de um objeto
148293216
f(a)
148293216

Cópias e Views

• Diferentes arrays podem compartilhar os mesmos dados na memória
• O método view de um array cria um novo objeto array que utiliza os mesmos dados
• Mudanças feitas nos dados de um são refletidas no outro array, mas os dois não são o mesmo objeto como ocorre em Python com um assinalamento
• Os dois objetos podem ter formas diferentes

Cópias e Views

• Fatiar um array retorna um view do array
• Para criar um cópia independente de um array use o método copy

Broadcast

• Operações no NumPy geralmente são feitas em pares de arrays elemento-a-elemento
• Broadcast corresponde a maneira como o numpy trata arrays com formas diferentes durante operações aritméticas
• O exemplo mais simples de broadcast ocorre quando um array e um escalar são combinados
• o escalar é esticado durante a operação aritmética para ter a mesma forma que o array

Broadcast

• Além da praticidade o broadcast fornece outras vantagens:
• É um meio de vetorizar operações com arrays tal que os loops ocorram em C, ao invés de Python
• Sem cópias desnecessárias dos dados implementações eficientes de algoritmos
• Exemplo: somar uma matriz (3,3) com um vetor (3,)?
  • Adicionamos uma dimensão extra no vetor novo shape de (1, 3)
  • Replicamos o "vetor" para ter o mesmo shape que a matriz (3,3)

Broadcast

• Para o broadcast ser possível duas regras precisam ser atendidas:
• Regra 1: Se os arrays de entrada possuem ranks diferentes adicione uma dimensão no início do array menor repetidamente até que os dois tenham o mesmo rank
• Regra 2: Arrays de tamanho 1 em um dada dimensão atuam como se eles tivessem o mesmo tamanho que o array de maior tamanho nessa dimensão
• Após a aplicação das duas regras anteriores as dimensões dos dois arrays devem bater

Broadcast

Exemplos

• Muito mais que operações entre um array e um simples escalar
• Nem sempre as dimensões coincidem após aplicar as duas regras
• Se for o caso você pode manualmente adicionar um eixo novo para não depender da regra 1

Broadcast

Exercício

• Dado o vetor de números complexos abaixo representando posições de pontos em um grid 2D, calcule as distâncias de cada ponto para cada outro ponto no grid.

pontos = np.array([-2+1j, 3+2.5j, 2-2j, 0, 1.5+2.7j])

• Solução:

Plotando com Matplotlib

• A biblioteca mais conhecida para plot no Python é a Matplotlib
• A função mais importante é a função plt.plot, que recebe arrays com os valores para plotar
• Chame a função plt.show no final para mostrar o plot
• Com um pouco esforço a mais podemos facilmente plotar múltiplas linhas de uma só vez, adicionar um título, legenda e labels para os eixos
• Dica: coloque %matplotlib inline ou %matplotlib notebook na primeira célula do Jupyter notebook

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Computa as coordenadas 'x' e 'y' para ambas as curvas
x = np.arange(0, 3 * np.pi, 0.1)
y_sin = np.sin(x)
y_cos = np.cos(x)

# Plota os pontos usando matplotlib
plt.plot(x, y_sin)
plt.plot(x, y_cos)
plt.xlabel('x axis label')
plt.ylabel('y axis label')
plt.title('Sine and Cosine')
plt.legend(['Sine', 'Cosine'])
plt.show()  # Necessário para mostrar o gráfico

Plotando com Matplotlib

Exercício

• Repita o plot anterior no notebook, mas agora incluindo círculos nos pontos
• Dica: rode o comando plt.plot? para ver a ajuda do comando

Plotando com Matplotlib

• Podemos plotar curvas diferentes na mesma figura usando a função subplot
• Na documentação há muito mais que se pode fazer com subplots

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.arange(0, 3 * np.pi, 0.1)
y_sin = np.sin(x)
y_cos = np.cos(x)

# Prepara um grid 2x1 para subplots e ativa o primeiro subplot
plt.subplot(2, 1, 1)

# Cria o primeiro plot
plt.plot(x, y_sin)
plt.title('Sine')

# Ativa o segundo plot do grid e cria o segundo plot
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(x, y_cos)
plt.title('Cosine')

plt.show()

Mostrando imagens com Matplotlib

• Matplotlib também possui a função imshow que pode ser usada para mostrar uma imagem
• Aqui usamos a função imread do scipy para ler a imagem

import numpy as np
from scipy.misc import imread, imresize
import matplotlib.pyplot as plt

img = imread('assets/cat.jpg')
img_tinted = img * [1, 0.95, 0.9]

# Mostra a imagem original
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.imshow(img)

# Mostra a imagem modificada
plt.subplot(1, 2, 2)

# Nota: imshow resulta em resultados estranhos se os dados
# não são uint8. Para contornar esse problemas fazemos um
# cast da imagem para uint8 antes de mostrá-la
plt.imshow(np.uint8(img_tinted))
plt.show()

Exercícios de Fixação

1. Crie uma matriz A com dimensão 3 × 4 de números inteiros menores que 10
2. Calcule a matriz transposta de A
3. Calcule a soma de cada linha da matriz A usando a função sum
4. Calcule a soma de cada coluna da matriz A usando a função sum
5. Calcule a pseudo-inversa \(A^\dagger = A^T(AA^T)^{-1}\)
6. Defina B = AA T e calcule os autovalores e os autovetores de B usando a função eig
7. Calcule a inversa de B usando a função inv